[계산] 타원의 둘레

08_언젠가 지식

[계산] 타원의 둘레

7jaytee7 2010. 2. 6. 14:38

개요

초등함수를 사용하여 닫힌형태로 표현할 수 없고, 타원적분이 필요하다
역사적으로 타원의 둘레의 길이를 구하는 적분에서 타원적분의 이름이 붙여짐

타원 둘레 길이의 유도

타원 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 의 둘레의 길이는 다음과 주어짐.
$x=a \sin \theta$ , $y=a \cos \theta$ , $0\leq \theta \leq 2\pi$ 로 매개화하자

$4\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}\sqrt{a^2\cos^2\theta+b^2\sin^2\theta}d\theta=4\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}\sqrt{a^2+(b^2-a^2)\sin^2\theta}d\theta$

$=4\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}a\sqrt{1-(1-\frac{b^2}{a^2})\sin^2\theta}d\theta=4a\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}\sqrt{1-k^2\sin^2\theta}d\theta=4aE(k)$

$k=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}$

$E(k)=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{1-k^2\sin^2 \theta} d\theta =\int_{0}^{1}\frac{\sqrt{1-k^2x^2}}{\sqrt{1-x^2}} dx=\int_{0}^{1}\frac{1-k^2x^2}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}}\,dx$

출처 : http://mi.o2.ie/pythagoras0.springnote.com/pages/4249089

타원의 둘레는 적분을 이용하여 근사값을 구할 수 있습니다.

길이공식은 L ≒ π{5(a+b)/4 - ab/(a+b)}입니다.

출처 : http://www.jisiklog.com/qa/2669161.htm

예_가로 1800cm세로 1200cm일 때

a=900

b=600

을 대입하면(반지름)

L은 대략 4760cm입니다.